푸앵카르의 추측으로본 위상수학

 글 이정훈

푸앵카레의 추측(Poincare Conjecture)이란?

모든 닫힌 단순 연결 3차원 다양체는 3차원 구와 모두 위상적으로 동형이다.
(Every simply connected, closed 3-manifold is homeomorphic to the 3-sphere) 

이 명제는 프랑스의 저명한 수학자 앙리 푸앵카레에 의하여 1904년 처음 제기된 추측으로 우주의 형태 추측에 밀접한 관련이 있다고 알려져있습니다.  그 내용이 EBS에서 방영된 [사라진 천재 수학자]에서 소개된 적이 있습니다.

쉽게 설명하여 지구에서 엄청 긴 밧줄을 로켓에 연결에 발사하여 우주 주위를 돌아서 지구로 돌아왔을 때 그 밧줄을 당겨보면 그 우주의 형태에 따라 달라진다는 내용이였습니다. 

내용을 좀더 자세히 이용하려면 위상수학의 개념을 숙지하고 계셔야되서 간단히 설명해 보겠습니다.

연결성, 연속성등의 의존하지 않는 기하학적 성질들을 다루는 수학의 한 분야입니다.
즉, 위상수학자들이 바라보는 물체는 길이를 늘리거나 줄이거나 하는 것은 같은 물체로 보고 찢는 것은  다른 물체로서 본다 생각하시면 될 것 같습니다. 이해를 돕기위해서 다음 세 물체를 보겠습니다.

이 세개의 물체들은 연결성을 유지하면서 다음 물체들을 만들수 있습니다.

여기서 도형이 같다는 얘기가 '위상적으로 동형이다' 입니다.
이렇게 위상적으로 동형인 물체를 모두 나누면 다음과 같이 8개의 종류로 나눌 수 있습니다.

그래서 푸앵카레 추측은 2차원 구면과 1차원 구면(원주)는 단일 연결이라는 근본적인 특징을 가지고 있는데, 3차원 표면에서도 구에 대해서 그러한 사실이 성립하는지에 대한 것입니다. 구체적으로 어떤 하나의 닫힌 3차원 공간에서 모든 폐곡선이 수축되어서 하나의 점이 될 수 있다면, 이 공간은 반드시 원구로 변형될 수 있다는 것입니다.

2002년 러시아의 저명한 수학자 그리고리 페렐만에 의하여 제시하고, 이 추측에 대한 솔루션을 국제 수학 연맹(IMU)이 3년간의 분석 끝에 인정하게 됩니다.

페렐만을 2006년 필즈상 수상자로 선정하였으나, 페렐만은 수상을 거부하였습니다. 같은 업적으로 페렐만은 2010년 3월 18일 밀레니엄상의 수상자로도 선정되었으나, 밀레니엄상 역시 거부하였습니다.
현재 페렐만은 세인의 눈을 피해 노모와 함께 상트페테르부르크에 살고 있는 것으로 알려져 있습니다.